Old Sextic Fields Unramified Outside of {∞, 3, 7}

Discriminant class: −7

∞  3 7 a_{1} a_{2} a_{3}  Over p = 3  Over p = 7  2 5 11 13 17 19 23 29
G  h  a_{4} a_{5} a_{6} f^{e} c_{w} d s f^{e} c_{w} d s 31 37 41 43 47 53 59 61
1.  3_{i}  0_{+} 5_{k} -1  1 -1 6 0_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  33 6 33 222 6 6 33
C_{6}  1 -1 1  6 33 222  6 33 6 6
2.  3_{i}  8_{+} 3_{k} 0  6 0 2^{3} 8_{+} ∗  1^{2} 1_{i} 7∗ 7∗ 33 222 33 222 222 222
S_{3}  9  0 7  1^{2} 1_{i} 7∗ 7∗ 222 33 222 33 222 33 222 222
3.  3_{i}  8_{+} 3_{k} 0  9 5 2^{3} 8_{+} ∗  3^{2} 3_{k} 7∗  33 6 33 6 222 222 33 33
C_{6}  36 12 8  6  6 33 6  6 6
4.  3_{i}  8_{+} 5_{k} 0  0 14 2^{3} 8_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  33 222  6 6 6  33
C_{6}  3  63 -168 161  6 33 6 33 6 33 6 6
5.  3_{i}  8_{+} 5_{k} 0  0 -14 2^{3} 8_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  6 33 6 6 6 33 33
C_{6}  21  63 -210 224  222 33 6 33 222 33 222 222
6.  3_{i}  6_{+} 5_{k} 0  0 0 2^{3} 6_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  22 222 22 6 222 222 22 22
D_{6}  3  0  0 7  6 33 222 33 222 22 222 6
7.  3_{i}  10_{+} 3_{k} -3  9 -7 2^{3} 10_{+} ∗  3^{2} 3_{k} 7∗  22 222 22 6 222 6 22 22
D_{6}  9 -39 32  6 33 222 33 222 22 222 222
8.  3_{i}  10_{+} 5_{k} 0  0 0 2^{3} 10_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  22 222 22 6 222 6 22 22
D_{6}  12  0  0 63  222  222 33 222 22 222 6
9.  3_{i}  10_{+} 5_{k} 0  0 0 2^{3} 10_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  22 222 22 222 222 6 22 22
D_{6}  3  0  0 567  6 33 222  222 22 222 6
10.  3_{i}  8_{+} 3_{k} 0  6 3 2^{3} 8_{+} ∗  3^{2} 3_{k} 7∗  3 6 3 6 222 222 33 33
S_{3} × C_{3}  9  9 4  6 33 6 3 6 33 6 6
11.  3_{i}  8_{+} 5_{k} 0  0 -7 2^{3} 8_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  3 222 33 6 6 6  33
S_{3} × C_{3}  3  63 21 14  6 3 6 3 6 3 6 6
12.  3_{i}  8_{+} 5_{k} 0  0 7 2^{3} 8_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  3 6 3 222 6 6 33
S_{3} × C_{3}  3  63 105 56  6 3 222 33 6 3 6 6
13.  3_{i}  8_{+} 5_{k} 0  0 14 2^{3} 8_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  33 6 3 6 6 6 33 33
S_{3} × C_{3}  3  63 84 77  222 3 6 3 222 3 222 222
14.  3_{i}  10_{+} 5_{k} 3  9 13 2^{3} 10_{+} ∗  1^{6} 5_{k} 7∗  42 4 42 6 222 6 22 42
S_{4} × C_{2} 12  18 12 71  2 22 4 33 222 22 222 6

Discriminant class: −3

∞  3 7 a_{1} a_{2} a_{3}  Over p = 3  Over p = 7  2 5 11 13 17 19 23 29
G  h  a_{4} a_{5} a_{6} f^{e} c_{w} d s f^{e} c_{w} d s 31 37 41 43 47 53 59 61
15.  3_{i}  3_{k} 4_{+} -1 3  0 3^{2} 3_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6  6 33 6 222
C_{6}  5 -2  1  1^{3} 2_{+} 1  33 33 222  6 6 6 33
16.  3_{i}  7_{k} 4_{+} -3 6 -21 1^{6} 7_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 222 222 33 222  222 222
S_{3}  3  27 18 36  1^{3} 2_{+} 1  33 33 222 33 222 222 222 33
17.  3_{i}  9_{k} 4_{+} 0 0 35 1^{6} 9_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 222 222 33 6 33 222 6
C_{6}  3  0 0 343  1^{3} 2_{+} 1  33 33 6 33 6 6 6 33
18.  3_{i}  9_{k} 4_{+} 0 0 28 1^{6} 9_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 6 6 33 6 33 6 6
C_{6}  3  0 0 343  1^{3} 2_{+} 1  33 6 33 222 6 222
19.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 3 6 49 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 222 222  222 33 222 222
S_{3}  3  69 -60 400  1^{3} 2_{+} 1  33 33 222  222 222 222 33

Discriminant class: −3 (continued)

∞  3 7 a_{1} a_{2} a_{3}  Over p = 3  Over p = 7  2 5 11 13 17 19 23 29
G  h  a_{4} a_{5} a_{6} f^{e} c_{w} d s f^{e} c_{w} d s 31 37 41 43 47 53 59 61
20.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 0 0  0 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 222 222 33 222 33 222 222
S_{3}  12  0 0 147  1^{3} 2_{+} 1  222 33 222 222 222 33
21.  3_{i}  9_{k} 0_{+} 0 0  -1 1^{6} 9_{k} 3∗  3 0_{+} 1  6 6 6 33 222  6 6
C_{6}  0 0  1  3 0_{+} 1  33  6 33 6 222 6 33
22.  3_{i}  11_{k} 0_{+} 0 0  0 1^{6} 11_{k} 3∗  3 0_{+} 1  222 222 222 33 222 33 222 222
S_{3}  0 0  3  3 0_{+} 1  33 33 222 33 222 222 222
23.  3_{i}  9_{i} 2_{−} 0 3  0 1^{6} 9_{i} 3∗  1^{2} 1_{i} 7∗ 7∗ 6 222 6 22 222 22 222 222
D_{6}  9 -9  3  1^{2} 1_{i} 7∗ 7∗ 22 33 222 33 222 6 222 22
24.  3_{i}  7_{k} 2_{+} 0 0  -1 1^{6} 7_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6 33 6 33 6 222
S_{3} × C_{3}  0 0  7  3 3 222 33 6 6 6 3
25.  3_{i}  9_{k} 2_{+} 0 0  4 1^{6} 9_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 6 6 3 6 33 6 6
S_{3} × C_{3}  0 0  7  3 0_{+} 1  33 3 6 3 222 6 222 33
26.  3_{i}  9_{k} 2_{+} 0 0  5 1^{6} 9_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 222 222 3 6 33 222 6
S_{3} × C_{3}  0 0  7  3 0_{+} 1  3 3 6 3 6 6 6 3
27.  3_{i}  11_{k} 2_{+} 0 0  3 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6 33 6 3 6 222
S_{3} × C_{3}  0 0 63  3 0_{+} 1  33 33 222 33 6 6 6 3
28.  3_{i}  11_{k} 2_{+} 0 0 15 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 222 222 3 6 3 222 6
S_{3} × C_{3}  0 0 63  33 33 6 3 6 6 6 3
29.  3_{i}  11_{k} 2_{+} 0 0 12 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 6 6 3 6 3 6 6
S_{3} × C_{3}  0 0 63  3 0_{+} 1  33 6 3 222 6 222 33
30.  3_{i}  11_{k} 2_{+} 0 0  9 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6  6 3 6 222
S_{3} × C_{3}  0 0 21  3 0_{+} 1  3 3 222  6 6 6 3
31.  3_{i}  11_{k} 2_{+} 0 0  6 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 6 6 33 6 3 6 6
S_{3} × C_{3}  0 0 21  33 3 6 33 222 6 222 33
32.  3_{i}  11_{k} 2_{+} 0 0  -3 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 222 222 33 6 3 222 6
S_{3} × C_{3}  0 0 21  3 0_{+} 1  3 3 6 33 6 6 6 3
33.  3_{i}  9_{k} 4_{+} 0 0  7 1^{6} 9_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6 3 222  6 6
S_{3} × C_{3}  3  0 0 49  1^{3} 2_{+} 1  3 33 6 3 6 222 6 3
34.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 0 0 21 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6 33 222 33 6 6
S_{3} × C_{3}  3  0 0 441  1^{3} 2_{+} 1  3 33 6 33 6 222 6 3
35.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 0 0 63 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6 33 6 3 6 222
S_{3} × C_{3}  3  0 0 1029  1^{3} 2_{+} 1  3 3 222 33 6 6 6 33
36.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 0 0 21 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 6 6 3 222 33 6 6
S_{3} × C_{3}  3  0 0 147  1^{3} 2_{+} 1  33  6 3 6 222 6 3
37.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 0 0 -21 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  6 222 222 3 6 3 222 6
S_{3} × C_{3}  3  0 0 1029  1^{3} 2_{+} 1  3 3 6 3 6 6 6 33
38.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 0 0 -42 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  222 6 6 3 6 3 6 6
S_{3} × C_{3}  3  0 0 1029  1^{3} 2_{+} 1  33 3 6 3 222 6 222
39.  3_{i}  11_{k} 0_{+} 0 0  3 1^{6} 11_{k} 3∗  3 0_{+} 1  6 6 6 3 222 33 6 6
S_{3} × C_{3}  0 0  3  3 33 6 3 6 222 6 33
40.  3_{i}  11_{k} 4_{+} 0 18  0 1^{6} 11_{k} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  4 4 4 33 222 33 222 4
S_{4}^{−}  24  45 0 48  1^{3} 2_{+} 1  22 22 4 33 222 222 222 33

Discriminant class: 1

∞  3 7 a_{1} a_{2} a_{3}  Over p = 3  Over p = 7 2 5 11 13 17 19 23 29
G  h  a_{4} a_{5} a_{6} f^{e} c_{w} d s f^{e} c_{w} d s 31 37 41 43 47 53 59 61
41. 2_{−} 10_{−} 4_{+} 0 -12 0 1^{3} 5_{i} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  42 42 42 33 22 33 22 42
S_{4}^{+}  3  48 0 -1 1^{3} 5_{i} 3∗  1^{3} 2_{+} 1  22 22 42 33 22 22 22 33

Discriminant class: 21

∞  3 7 a_{1} a_{2} a_{3}  Over p = 3  Over p = 7  2 5 11 13 17 19 23 29
G  h  a_{4} a_{5} a_{6} f^{e} c_{w} d s f^{e} c_{w} d s 31 37 41 43 47 53 59 61
42.  0_{+}  3_{i} 5_{k}  1 -6 -6 3^{2} 3_{i} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  6 33 6 222 33 6 6 222
C_{6}  8 8  1  6 33  33 6 33 6
43.  0_{+}  9_{i} 3_{k}  0 -12 -5 1^{6} 9_{i} 3  3^{2} 3_{k} 7∗  6 33 6 6  222 6 6
C_{6}  36 30  1  6  33 33 33 222 33 6
44.  0_{+}  9_{i} 5_{k}  0 -21 14 1^{6} 9_{i} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  6  222 6 33 6 222 6
C_{6}  3  63 -21 -35  6 33 33 33 33 6 33 6
45.  0_{+}  9_{i} 5_{k}  0 -21 -14 1^{6} 9_{i} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  222 33 6 6 33 6 6 6
C_{6}  3  63 84 28  222 33 33 33  6  222
46.  2_{−}  9_{k} 3_{k}  0 0 -5 1^{6} 9_{k} 3  1^{2} 1_{i} 7∗ 7∗ 6 22 6 222 22 222 222 222
D_{6}  0 0  1  1^{2} 1_{i} 7∗ 7∗ 222 33 22 33 22 6 22 222
47.  2_{−}  7_{k} 5_{k} -3 9 -20 1^{6} 7_{k} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  222 22 222 6 22 222 222 222
D_{6}  3  -3 -33  1  6 33 22 33 22 222 22 6
48.  2_{−}  11_{k} 3_{k}  0 0 -18 1^{6} 11_{k} 3  3^{2} 3_{k} 7∗  222 22 222 6 22 6 222 222
D_{6}  0 0 -3  6 33 22 33 22 222 22 222
49.  2_{−}  11_{k} 5_{k}  0 0  0 1^{6} 11_{k} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  222 22 222 222 22 6 222 222
D_{6}  3  0 0 -21  6 33 22  22 222 22 6
50.  2_{−}  11_{k} 5_{k}  0 0 -84 1^{6} 11_{k} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  222 22 222 6 22 6 222 222
D_{6}  12  0 0 63  222  22 33 22 222 22 6
51.  2_{−}  11_{k} 3_{k}  0 0 -3 1^{6} 11_{k} 3  3^{2} 3_{k} 7∗  6 22 6 6 22 6 222 222
S_{3} × S_{3}  0 0 -3  6 3 22 3 22 6 22 222
52.  2_{−}  9_{k} 5_{k}  0 0 -7 1^{6} 9_{k} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  6 22 6 6 22 222 222 222
S_{3} × S_{3}  3  0 0  7  6 3 22 3 22 6 22 6
53.  2_{−}  11_{k} 5_{k}  0 0 -21 1^{6} 11_{k} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  6 22 6 222 22 6 222 222
S_{3} × S_{3}  6  0 0 -21  6 3 22 33 22 6 22 6
54.  2_{−}  11_{k} 5_{k}  0 0 -21 1^{6} 11_{k} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  6 22 6 6 22 6 222 222
S_{3} × S_{3}  3  0 0 63  222 33 22 3 22 6 22 6
55.  2_{−}  11_{k} 5_{k}  3 -12 -29 1^{6} 11_{k} 3  1^{6} 5_{k} 7∗  4 42 4 6 22 6 222 4
S_{4} × C_{2} 12  186 201 -398  2 22 42 33 22 222 22 6